解的收敛半径

用幂级数求解微分方程时，级数并不保证对所有 x 都有效——它只在以 x0 为中心的圆盘内有效。解的收敛半径（radius of convergence of a solution）就是这个圆盘的大小：你的级数在离 x0 多远的范围内值得信赖。美妙之处在于，对线性常微分方程，你能在算出哪怕一个系数之前就预测这个半径。

这条定理（可追溯到富克斯与柯西）异常简洁：对 y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0 在常点 x0 处展开，幂级数解保证至少收敛到方程最近的奇点为止，距离在复平面上度量。所以半径至少等于 x0 到 P 或 Q 最近奇点的距离。你不必估计系数 a_k 再做比值判别法；只需定位奇点（往往是原首项系数为零之处）并测量距离。在特殊情形下收敛可能更好，但这个下界总是成立。

这之所以重要，是因为它预先告诉你级数近似在哪里可用、在哪里会失效。对勒让德方程在 x0 = 0 处展开，奇点在 +1 与 -1，所以级数对 |x| < 1 收敛——恰好是球面上 cos(theta) 的物理区间。“在复平面上度量”这一点很微妙：你在实轴上看不见的奇点（如 1/(1 + x^2) 在 +i 与 -i 处的极点）仍会限制一个实级数，这就是为什么一个看上去完全光滑的实函数也可能有有限的收敛半径。