常点与奇点

在用幂级数求解微分方程之前，你想知道哪些点是友好的、哪些是危险的。对二阶线性方程而言，常点（ordinary point）是方程表现良好、可以放心地把解展开成泰勒级数的地方；奇点（singular point）则是方程中某处发散、朴素级数可能失效的地方。这有点像开车前先问问前方的路是平整的柏油路还是坑洼。

把方程写成标准形式 y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0，即除掉首项系数后的形式。若 P(x) 和 Q(x) 在 x0 处都解析，即各自在 x0 附近有收敛的泰勒展开，则 x0 是常点；若 P 或 Q 在 x0 处不解析——通常是因为原方程的首项系数在该处为零、你除以了零——则 x0 是奇点。例如对 x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0（贝塞尔方程），除以 x^2 得 P(x) = 1/x、Q(x) = 1 - n^2/x^2，二者在 x = 0 处都发散，所以 x = 0 是奇点；其余各点都是常点。

这一区分并非繁文缛节：它决定你该用哪种工具。在常点处，普通幂级数 y = sum a_k (x - x0)^k 有效，并给出两个独立的解析解。在奇点处通常不能直接代入泰勒级数——解可能含分数幂、对数、或真正的发散——所以需要更细致的弗罗贝尼乌斯方法，而且只有当奇异性足够温和（正则奇点）时才行。物理学中那些以人名命名的方程——勒让德、贝塞尔、埃尔米特——之所以有趣，正是因为它们的奇点恰好位于物理所在之处（球的极点、柱的轴线）。