系数递推关系
一个幂级数解或弗罗贝尼乌斯解有无穷多个未知系数 a_0、a_1、a_2 等等——多到无法一次性全部解出。系数递推关系（recurrence relation for coefficients）就是把它们联系起来的公式：它用一个或多个较早的系数表示每个系数，于是一旦你定下头一两个，其余的便由反复套用而接连涌出。它是把微分方程变成算术摇柄的引擎。
它直接来自代入。把 y = sum a_k x^k（或弗罗贝尼乌斯形式）代入方程，归并所有乘以同一幂次 x^k 的项后，要求该系数为零便给出 a 之间的代数关系，例如对 y'' + y = 0 有 a_{k+2} = -a_k/((k+2)(k+1))，或对许多特殊函数方程有形如 a_{k+1} = c_k a_k 的两项关系。把 a_{k+2} 与 a_k 联系起来的关系（“两步”递推）把解分裂为偶级数与奇级数；把相邻系数联系起来的（“一步”关系）则构成单一链条。你从自由常数出发往前摇。
递推关系正是特殊函数深层结构藏身之处。对勒让德、埃尔米特、拉盖尔方程，递推有一个奇妙性质：在特殊参数值下，关系使某个 a_k 恰好为零，从此往后每个后续系数也都为零——无穷级数截断成一个多项式。这一截断正是勒让德、埃尔米特、拉盖尔、切比雪夫多项式的来源，也是（在量子力学中）能量量子化的来源，因为要使级数终止以保持有限的要求，迫使参数取离散值。
埃尔米特方程 y'' - 2x y' + 2 lambda y = 0 给出 a_{k+2} = 2(k - lambda)/((k+2)(k+1)) a_k。若 lambda 等于非负整数 n，则 a_{n+2} = 0，n 以上的整条偶或奇链消亡，留下一个 n 次多项式——即埃尔米特多项式。对其他任何 lambda，级数无限延续且增长过快，物理上不可接受。
递推的终止，正是多项式解与量子化背后的机制。
不要把它与那些命名多项式之间的递推关系（如联系 P_{n+1}、P_n、P_{n-1} 的三项关系）混淆。系数递推在一个级数内部；多项式递推在不同次数的整个函数之间。