递推关系与正交关系
一旦你拥有一整族特殊多项式，两条结构性定律使它们真正可用，而不只是一张清单。递推关系把三个连续成员联系起来，使你能从前两个造出下一个；正交关系则说，两个不同成员在用合适的权函数作积分时是“互相垂直”的。二者合起来就是把一个多项式族变成可用基底的工具箱。
每个经典正交族都满足形如 p_{n+1}(x) = (A_n x + B_n) p_n(x) - C_n p_{n-1}(x) 的三项递推；对勒让德，(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)。这正是计算机求 P_50 的稳定高效方式——绝不去展开一个 50 次多项式，而总是从 P_0、P_1 沿递推往上爬。正交关系说，在该族的自然区间上对 p_m(x) p_n(x) w(x) dx 求积分，只要 m 不等于 n 就为零，其中 w(x) 是权函数（勒让德在 [-1, 1] 上为 1，埃尔米特在全实轴上为 e^{-x^2}，拉盖尔在 [0, infinity) 上为 e^{-x}）。当 m 等于 n 时，积分给出一个已知的归一化常数。
正交性正是使这些族成为傅里叶分析中正弦-余弦系统之类比的性质：任何合理的函数都可展为级数 sum c_n p_n(x)，每个系数 c_n 由单个积分 c_n = (integral of f p_n w) / (integral of p_n^2 w) 求出，正因为交叉项消失。这就是广义傅里叶展开，也是本领域通往斯图姆-刘维尔理论的桥梁——在那里，正交性被证明是底层方程自伴形式的结构性后果，而非侥幸的巧合。
用勒让德递推往上爬。从 P_0 = 1、P_1 = x，取 n = 1：2 P_2 = 3 x P_1 - P_0 = 3x^2 - 1，所以 P_2 = (3x^2 - 1)/2。正交性则说从 -1 到 1 对 P_1(x) P_2(x) dx 的积分为零——确实，x 乘以 (3x^2 - 1)/2 在对称区间上的积分为零，因为被积函数是奇函数。
递推造出多项式；正交性让你用它们展开函数。
正交性总是携带一个特定的权函数与区间——勒让德多项式在 [-1, 1] 上以权 1 正交，但埃尔米特需要在全实轴上以权 e^{-x^2} 正交。它们在普通的无权意义下并不正交，所以不指明权函数就说“这些多项式正交”是一个常见且影响后果的疏忽。