埃尔米特方程
/ Hermite: air-MEET /
量子谐振子——抛物势中的一个粒子，分子键振动以及量子场论中每个场模的模型——其薛定谔方程在剥去一个高斯因子后，归约为一个干净的方程。埃尔米特方程（Hermite's equation）就是那个方程：振子波函数的多项式核心。
它是 y'' - 2x y' + 2 lambda y = 0，没有有限奇点（实轴上每点都是常点），所以在 x = 0 处用普通幂级数求解。递推 a_{k+2} = 2(k - lambda)/((k+2)(k+1)) a_k 把结构展露无遗：对一般的 lambda，级数无限延续且像 e^{x^2} 那样增长，再乘回高斯波函数因子后仍然发散——物理上被禁止。唯一的出路是让级数终止，这恰好在 lambda 为非负整数 n 时发生；此时 a_{n+2} = 0，解成为 n 次埃尔米特多项式 H_n(x)。
这个终止条件是整个物理中说明“边界条件如何把连续参数量子化”的最干净例子：要求一个可归一化（有限能量）的波函数，迫使 n 取整数，振子的能级 E = (n + 1/2) 乘以 h-bar omega 便直接落下。H_0 = 1、H_1 = 2x、H_2 = 4x^2 - 2 等等，正是振子基态、第一激发态及更高态的多项式部分。埃尔米特函数也出现在概率论（高斯矩、埃奇沃思展开）与信号处理中。
对 lambda = 2，方程 y'' - 2x y' + 4 y = 0 截断后给出 H_2(x) = 4x^2 - 2。完整的振子波函数是这个多项式乘以高斯因子 e^{-x^2/2}；多项式提供了第二激发态的两个节点（变号点）。
多项式次数 n 等于节点数——它直接就是量子数。
H_n 有两套并存的归一化约定（权函数为 e^{-x^2} 的“物理学家”埃尔米特多项式，与权函数为 e^{-x^2/2} 的“概率学家” He_n）。二者相差 x 的一个缩放和一个常数因子——使用公式时务必确认它假定的是哪一套。