厄米多项式（Hermite polynomials）
/ air-MEET /
勒让德多项式活在有限区间上；但许多物理问题活在整条实轴上，并最关心一个像高斯钟形那样衰减的峰附近的行为。厄米多项式就是在整条直线上对高斯权重 e^{-x^2} 正交的多项式族——凡有钟形包络出现之处的天然基。
在物理学家的约定下它们是 H_0 = 1、H_1 = 2x、H_2 = 4 x^2 减 2、H_3 = 8 x^3 减 12 x，其中 H_n 是 n 次多项式。它们的正交性写作 从 负无穷到无穷 对 H_m(x) H_n(x) e^{-x^2} dx 的积分 = 0（当 m 不等于 n），权重 e^{-x^2} 正是制服无穷远处增长的多项式的因素。它们遵循罗德里格斯公式 H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} 乘 e^{-x^2} 的 n 阶导数、递推 H_{n+1} = 2 x H_n 减 2 n H_{n-1}，以及一个生成函数。另有一种概率学家的约定使用权重 e^{-x^2/2}，给出略有不同的多项式 He_n。
厄米多项式是量子谐振子的代数骨架：能量本征态是 H_n(x) 乘一个高斯，所以每一个振动的分子、每一个光子模式以及量子场论的形式体系都带着它们。它们还生成激光束的厄米-高斯横模，并支撑高斯-厄米数值积分。在这里它们作为函数编目；它们所满足的振子微分方程属于级数解主题。
量子谐振子的基态用 H_0 = 1，第一激发态用 H_1 = 2x；H_1 的唯一节点（x = 0 处的零点）正是第一激发态波函数消失的那一点。
H_n 的零点个数等于 n，这正是第 n 个振子态的节点数。
并存两种约定：物理学家的 H_n（权重 e^{-x^2}）和概率学家的 He_n（权重 e^{-x^2/2}）。二者相差一个缩放，所以总要确认公式假定的是哪一种。