特殊函数
拉盖尔多项式（Laguerre polynomials）
/ lah-GAIR /
有些问题既不在有限区间上，也不在整条直线上，而在从 0 到无穷的半直线上，并由一个衰减指数设定尺度——想想从原子核向外的径向方向。拉盖尔多项式就是在正半直线上对权重 e^{-x} 正交的多项式族，是那种几何的天然基。
它们是 L_0 = 1、L_1 = 1 减 x、L_2 = (x^2 减 4 x 加 2)/2，依此类推。正交性写作 从 0 到无穷 对 L_m(x) L_n(x) e^{-x} dx 的积分 = 0（当 m 不等于 n）；权重 e^{-x} 既提供使积分收敛的衰减，又编码了半直线几何。它们遵循罗德里格斯公式 L_n(x) = (e^x 除以 n!) 乘 (x^n e^{-x}) 的 n 阶导数、一个三项递推，以及一个生成函数。当存在额外的 x 幂时，会出现以权重 x^{alpha} e^{-x} 正交的广义族 L_n^{alpha}。
广义拉盖尔多项式是氢原子波函数的径向部分——那个关于半径的精确多项式，乘以一个指数后给出 s、p、d 轨道的形状。它们还驱动针对正半轴上带指数因子积分的高斯-拉盖尔数值积分，并出现在振动光谱和量子光学中。在这里它们列入正交多项式族；其生成方程属于级数解主题。
归一化检验：从 0 到无穷 对 L_0(x)^2 e^{-x} dx 的积分 = 从 0 到无穷 对 e^{-x} dx 的积分 = 1，用到最简单的拉盖尔多项式 L_0 = 1 和伽马值 Gamma(1) = 1。
指数权重 e^{-x} 正是让这些半直线积分有限并把它们与伽马函数联系起来的因素。
普通的 L_n 与广义的 L_n^{alpha} 是不同的族；氢原子需要广义版本，所以不要用较简单的那个替代。
又称
另见