切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）
/ CHEB-ih-shev /
在所有正交多项式中，有一族其实只是乔装的余弦，而这一伪装赋予它一个神奇性质：在给定次数、首项系数固定的所有多项式中，它在整个区间上保持尽可能小。切比雪夫多项式就是这个最小振荡族，是多项式逼近与数值稳定性的黄金标准。
第一类由极简洁的恒等式定义：T_n(cos theta) = cos(n theta)，所以在区间 负 1 到 1 上，令 x = cos theta，T_n 实际上就是乔装的余弦：T_0 = 1、T_1 = x、T_2 = 2 x^2 减 1、T_3 = 4 x^3 减 3 x，递推为 T_{n+1} = 2 x T_n 减 T_{n-1}。它们在 负 1 到 1 上以权重 1 除以 根号(1 减 x^2) 正交。其关键特征是等波动：T_n 始终保持在 负 1 与 1 之间，并 n+1 次触及这两个界，把误差完美地均匀铺开。还有伴随的第二类 U_n，满足 U_n(cos theta) = sin((n+1) theta)/sin theta。
由于 T_n 使最坏情况误差最小，切比雪夫多项式是近最优函数逼近（切比雪夫逼近与极小极大逼近）、微分方程谱方法、Clenshaw-Curtis 数值积分，以及设计平坦或等纹波响应滤波器的基础。在切比雪夫节点（投影的余弦点）上插值，能治愈毁掉等距多项式插值的剧烈边缘振荡。在这里它们作为函数编目；其生成的常微分方程位于级数解主题。
余弦恒等式让 T_3 易于验证：T_3(cos theta) = cos 3 theta = 4 cos^3 theta 减 3 cos theta，于是 T_3(x) = 4 x^3 减 3 x——三倍角公式的乔装。
每个切比雪夫多项式都是写在变量 x = cos theta 中的多倍角余弦公式。
它们的最优性是在 负 1 到 1 上的极小极大（最坏情况）意义下，而非最小二乘；等纹波、等波动的行为正是把误差均匀铺开、胜过等距节点的原因。