高级积分技巧
三角函数幂的积分（integrating powers of trigonometric functions）
怎么积 sin^5(x)，或 sin^2(x) cos^4(x)，或 tan^3(x) sec^4(x)？没有单一公式，但有一小套可靠的招式，能把任何三角函数幂的乘积化成可用换元积出的形式。策略只取决于指数是奇还是偶。
对正弦余弦：若有一个幂是奇数，就剥下一个因子去配 dx，其余用 sin^2 + cos^2 = 1 转换，于是换元 u = sin(x) 或 u = cos(x) 收尾。若两个幂都是偶数，就不能这么做，于是用半角（降幂）恒等式 sin^2 = (1 - cos 2x)/2 和 cos^2 = (1 + cos 2x)/2 把指数一点点磨低，反复直到一切都对某个余弦呈一次式。对正割正切，平行的技巧用 1 + tan^2 = sec^2，以及 tan 的导数是 sec^2、sec 的导数是 sec tan 这一事实，把恰当的因子留下来当 du。
这些积分是傅里叶分析的日常主食：你用信号去对 sin(nx)、cos(nx) 积分来算傅里叶级数的系数，而三角系的正交性正是说许多这类乘积在一个周期上积分为零。当分类讨论变得难看时，魏尔斯特拉斯换元是万能的兜底，而约化公式把偶-偶的反复研磨打包成一条递归规则。
求 sin^3(x) dx 的积分：写 sin^3 = sin(x)(1 - cos^2 x)，令 u = cos(x)，du = -sin(x) dx，得 -(1 - u^2) du 的积分 = -u + u^3/3 = -cos(x) + cos^3(x)/3 + C。
奇次幂让你分出一个因子当 du，把其余的用另一个函数改写。
偶-偶的情形没有奇因子可抓，单靠换元会失败——必须先用半角恒等式降幂。跳过这一步是这里最常见的死胡同。
又称
另见