约化公式（reduction formula）

假设你要算 sin^10(x)，或 x^6 e^x，或 sec^5(x) 的积分。从头硬算很残酷，但这每一个都属于一个以整数 n 编号的家族，而成员之间是连着的：指数为 n 的积分可以用指数更小的同类积分表示。约化公式就是这条联系——一条把指数降一或降二的规则，反复施用就把你带到一个你能心算的基本情形。

约化公式几乎总是用分部积分推出，挑选拆法使得剩下的积分恰是原积分的降幂版本。例如记 I_n 为 sin^n(x) dx 的积分，分部积分给出 I_n = -(1/n) sin^(n-1)(x) cos(x) + ((n-1)/n) I_{n-2}。每用一次把幂降 2，朝 I_0 = x 或 I_1 = -cos(x) 前进。这条公式是一个递推式：一条用自身更小的实例来定义某量的自指规则。

约化公式正是计算机代数系统和制表者一次性处理整个无穷家族的方式，它把本来无望的高次幂积分变成例行公事。它们还揭示结构——例如著名的求 pi 的沃利斯乘积，就是从 0 到 pi/2 上对 sin^n 的约化公式直接掉出来的。唯一的坑是你必须忠实地把公式施用到正确的基本情形；基项差一个，会悄悄毁掉整条链。