递归积分（recursive integration）

递归积分是一种宽泛的习惯：通过把一个积分与它自身、或它自身的更简单版本联系起来来求解。约化公式是其中一种，但这个家族更大：有时分部积分会让原积分重新出现在右边，于是你把它当作未知量代数地解出。这个名字抓住的精神是——倚靠问题的结构，而不是去找一个全新的原函数。

经典例子是 e^x cos(x) dx 的积分。分部积分一次，你得到一个新的 e^x sin(x) 的积分；再分部一次，e^x cos(x) 的积分带着符号重新出现。记原积分为 I，你得到形如 I = （某式）- I 的方程，直接解就行：2I =（某式），于是 I 等于它的一半。没有基本情形，没有逐级下行——递归一圈就自我闭合。另一些递归设置则会逐级下行，如约化公式，终止于一个已知的小情形。

这种思路远不止用于积分：它和幂级数法、弗罗贝尼乌斯方法里级数系数的递推关系是同一逻辑——每个系数由更早的系数定义。诚实的提醒是：代数闭环这一招只在积分确实回到自身（至多差一个常数因子）时才管用；若分部的选择不断产生全新的积分，那你不是在递归，而是在游荡，应当换一种拆法。