三角函数系的正交性
两支箭垂直，当它们的点积为零——它们指向相互独立的方向，谁也不在对方身上投下影子。函数也可以在同样的精神下'垂直'，只要你把点积换成它们乘积的积分。组成傅里叶级数的正弦和余弦，恰恰是在这个意义上相互正交的，而这一条结构性事实就是让整个学科得以计算的、不声不响的引擎。
具体地说，在对称区间 -L 到 L 上，cos(m pi x / L) cos(n pi x / L) dx 的积分，只要 m 与 n 不同就为零，两个不同正弦的乘积也是如此；与此同时，任何正弦乘任何余弦由奇偶对称性直接积分为零。当 m = n 时积分不是零，而是一个已知的常数（匹配的正弦或余弦对为 L，常数 1 为 2L）。所以族 { 1, cos(pi x/L), sin(pi x/L), cos(2 pi x/L), ... } 表现得像一组相互垂直的坐标轴，每根都有固定的长度。这就是为什么把 f 投影到一个基函数上——乘上它再积分——恰好分离出一个系数：级数中其余每一项都积分成了零。
正交性是欧拉-傅里叶系数公式成立的原因，也是帕塞瓦尔能量恒等式没有交叉项的原因。它还揭示傅里叶级数只是一个更宏大想法的一个实例：用任意正交族展开函数。把三角系换成勒让德多项式、贝塞尔函数，或斯图姆-刘维尔问题的本征函数，同样的投影逻辑就给出一个广义傅里叶级数。把三角正交性认作一个特例，正是从本章通向整个本征函数展开理论的桥梁。
从 -pi 到 pi 积分 sin(2x) cos(3x) dx = 0（正弦乘余弦，恒为零）；从 -pi 到 pi 积分 sin(3x) sin(3x) dx = pi（匹配的对角值）。那些非对角的零，正是让'乘后积分'筛出 b_3 的关键。
对角线外为零，对角线上是已知常数——正交基的标志。
正交性只在一个完整周期（或与谐波匹配的长度）上成立；在长度不匹配的区间上积分，交叉项就不再消失，这正是用错周期会悄悄毁掉每个系数的原因。