本征函数的正交性（orthogonality of eigenfunctions）
正交性正是一组基好用的原因。如果你的构件彼此垂直，你就能独立读出某函数中含有每个构件多少，就像不必解方程组就能读出向量的 x、y、z 坐标。对斯图姆-刘维尔问题，属于不同本征值的本征函数自动正交——关于权 w——这一个事实就把广义傅里叶展开从一个困难的线性代数问题变成了一串简单积分。
用文字说说机制。取两个本征函数 y_m、y_n，本征值 lambda_m 不等于 lambda_n，各自满足自伴方程。把 m 方程乘以 y_n、n 方程乘以 y_m，相减，在 [a, b] 上积分。导数项合并为边界表达式 p (y_m' y_n - y_m y_n') 的全导数，积分后给出一个被边界条件消灭的边界项。剩下的是 (lambda_m - lambda_n) 乘以 integral of y_m y_n w dx 等于零。因本征值不同，积分必为零：integral from a to b of y_m(x) y_n(x) w(x) dx = 0。权 w 不是可选项——它恰是方程递给你的那个系数。
这种正交性是应用本征函数方法的主力。要求展开 f = sum of c_n y_n 中的系数 c_n，你做投影：乘以 y_n w 并积分，其余每一项都掉光，剩下 c_n =（integral of f y_n w dx）/（integral of y_n^2 w dx）。这与求傅里叶系数是同一招，如今用于勒让德、贝塞尔、埃尔米特或任何斯图姆-刘维尔基底。没有正交性，你就得改去求逆一个无穷耦合的方程组。
勒让德多项式满足：当 m 不等于 n 时，integral from -1 to 1 of P_m(x) P_n(x) dx = 0（权 w = 1）。于是要在 [-1, 1] 上展开 f(x) = x^2，只需算出它在 P_0、P_1、P_2 上的投影，便得 x^2 = (1/3) P_0 + (2/3) P_2——无需解任何方程。
正交性把求系数化为一组互不相干的积分，一个模式一个。
不同本征值保证正交；若某一本征值带有多个独立本征函数（简并，周期条件下常见），它们并不自动正交，你须用格拉姆-施密特手工正交化。