权函数（weight function）

当你说两个函数正交时，你已悄悄选定了一种把它们相乘并积分的方式。权函数就是把这个隐藏的选择摆到明面上：一个正函数 w(x)，告诉内积区间上每一点应当占多大分量。当 integral from a to b of f(x) g(x) w(x) dx 等于零时，f 与 g 关于权 w 正交。换一个权，同样这两个函数也许就不再正交了。

权从何而来？它从斯图姆-刘维尔方程的自伴形式中读出：在 (d/dx)(p y') + q y + lambda w y = 0 里乘在 lambda y 上的系数 w(x) 就是权。这绝非偶然——当你通过对方程积分来推导正交性时，残留的那一项是 integral of (lambda_m - lambda_n) y_m y_n w dx，所以本征函数恰是关于 w 正交，而非关于裸测度 dx。傅里叶正弦基底 w = 1；勒让德在 [-1, 1] 上 w = 1，但贝塞尔 w = x，埃尔米特 w = e^{-x^2}。

实用上，权就是你在每次投影时必须记得插入的东西。要求广义傅里叶级数中某本征函数的系数，你计算 integral of f y_n w dx 除以 integral of y_n^2 w dx；漏掉 w 会得到错误系数和一个无法重构 f 的级数。权还有物理含义——在密度变化的振动膜上，w(x) 实实在在就是质量密度，所以带权正交性即是某种加权能量的守恒。