带权正交性（orthogonality with a weight）
对函数而言，垂直并非绝对概念——它取决于你如何度量夹角，而那正是内积所做的事。带权正交性就是用带权内积来度量的正交：不用 f 乘 g 的裸积分，而用 f 乘 g 乘 w 的积分，其中 w(x) 是固定的正权。在这条规则下，两个函数当其带权重叠为零时即垂直，哪怕其无权重叠不为零。
带权内积定义为配对 (f, g) = integral from a to b of f(x) g(x) w(x) dx，由它诱导的范数是 (f, f) 的平方根。你对普通向量熟知的每个概念都原样搬来：正交即 (f, g) = 0，范数度量大小，把 f 投影到单位范数的 g 上得 (f, g) g，勾股定理成立。在自伴的斯图姆-刘维尔形式下工作的全部意义，正在于它精确地告诉你该用哪个 w——权就是方程中 lambda y 的系数，也是唯一一个能使该问题的本征函数正交的权。
为何非要带个权？因为真实的几何与真实的物理把它摆在那里。极坐标或球坐标中，面积元拖进一个 r 或一个 sin(theta) 因子，它便成为权；对密度变化的弦，质量密度就是权。在每个积分中携带 w，正交结构才完好无损，于是系数公式与帕塞瓦尔恒等式都保持干净。丢掉权，本征函数就不再正交，投影失效，展开悄无声息地崩坏。
切比雪夫多项式 T_m、T_n 仅在权 w(x) = 1/sqrt(1 - x^2) 下于 [-1, 1] 上正交：当 m 不等于 n 时，integral from -1 to 1 of T_m(x) T_n(x) / sqrt(1 - x^2) dx = 0。若用裸权 1，它们并不正交。
每个多项式族只在自己的权下正交；换权就破坏正交性。
一个常见失误是把系数算成不带权的 integral of f y_n dx；对非平凡的权（贝塞尔、切比雪夫、埃尔米特），这给出错误数值与无法还原 f 的级数。