帕塞瓦尔定理
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如果一个信号是它各谐波之和，那么它的总能量去了哪里？直觉说：它一定分摊到各谐波之间，记账过程中既不凭空生出也不损失能量。帕塞瓦尔定理把这一直觉变得精确。它说一个函数在一个周期上的平方平均，等于它所有傅里叶系数的平方之和——时域图像里的总'能量'等于频域图像里的总'能量'。
在三角形式中，对周期为 2L 的 f，(1/L) 对一个周期积分 [f(x)]^2 dx = (a_0)^2/2 + 从 n=1 到无穷对 (a_n^2 + b_n^2) 求和。在复形式中更为简洁：(1/(2L)) 对一个周期积分 |f(x)|^2 dx = 对所有 n 的 |c_n|^2 求和。无论哪种，传达的信息都一样——把信号平方再平均，得到的数与把它的谱幅值平方再相加得到的数相同。这就是能量诠释：每个谐波贡献它自己那一份总量，而各份直接相加，因为谐波是正交的（积分中没有交叉项幸存）。
帕塞瓦尔定理是功率谱和信号能量预算背后的主力恒等式。它让你直接从系数算出均方值（有效功率、信号方差、L^2 范数），而无需重建信号，并告诉你能量如何在各频率间分布——这是每一个均衡器显示和带宽计算的基础。作为额外收获，把它用在一个已知级数上，会吐出引人注目的数论求和；例如锯齿波的系数喂进帕塞瓦尔恒等式，给出 sum 1/n^2 = pi^2/6，即巴塞尔和。
对 f(x) = x 在 (-pi, pi) 上、b_n = 2(-1)^{n+1}/n：帕塞瓦尔给出 (1/pi) 从 -pi 到 pi 积分 x^2 dx = sum b_n^2，即 2pi^2/3 = sum 4/n^2，整理后得到 sum 1/n^2 = pi^2/6。
谱中的能量守恒，顺手把一个著名的无穷级数和作为副产品交给了你。
帕塞瓦尔定理要求函数在周期上平方可积；它度量的是总能量，对相位和逐点行为视而不见，所以仅在孤立点（或符号模式）上不同的两个函数，可以共享相同的能量总和。