离散频谱与谐波

一个乐音不是单一频率，而是一摞频率——一个基音，加上以其两倍、三倍、四倍速率出现的泛音——而泛音的具体配方，正是让小提琴和长笛奏同一个音却听起来不同的原因。傅里叶级数把这变得具体：一个周期信号只在一架离散的频率阶梯上才有能量，即某个基频的整数倍，而那些频率上的强度清单就是它的频谱。

因为傅里叶级数中的谐波由整数 n 标号，允许的频率是 f_0, 2 f_0, 3 f_0, ...，其中 f_0 是基频——中间的频率一概不存在。把系数的幅值（|c_n|，或 sqrt(a_n^2 + b_n^2)）对频率作图，得到的不是一条光滑曲线，而是一组孤立的竖直尖峰，这就是它被称作线状频谱或离散频谱的原因。第 n 个尖峰是第 n 次谐波：n = 1 是基波，n = 2 是二次谐波（高八度），依此类推。正是周期性强行造成了这种离散性——周期意味着重复，而只有那些把整数个周期恰好塞进周期里的频率才能存活。

这幅离散图像是声学、振动和电力电子的工作语言。音色就是谐波内容；总谐波失真度量放大器或电网中不需要的高次谐波；一根管风琴管的特征就是它的泛音频谱。要记住的对比是：一个周期信号有离散（线状）频谱，但一个一次性、不重复的脉冲把它的能量铺展在一整条连续的频带上——那就是傅里叶变换的连续频谱，是你让周期增大到无穷、谱线并入一片模糊时所到达的极限。