复指数傅里叶级数
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正弦和余弦其实是同一个更简单的对象的两副面孔——复指数 e^{i theta}，由欧拉公式它以 cos theta + i sin theta 的形式旋转。复指数傅里叶级数利用这一点，把整个展开写成整洁的一行，而不是余弦和正弦两条并行的求和。可以把它看作把一个信号的谐波内容重新打包成一串复数，每个频率一个，其中每个数的大小是该谐波的强度，它的辐角是相位。
对周期 2L，级数为 f(x) = 从 n=-无穷 到 +无穷对 c_n e^{i n pi x / L} 求和，其中复系数 c_n = (1/(2L)) 对一个周期积分 f(x) e^{-i n pi x / L} dx。现在 n 跑遍所有整数，正的和负的；负频率并不神秘——它们恰恰是必需的，使得一个实信号的各项成对（c_{-n} 是 c_n 的复共轭），虚部相消，留下一个实数和。与实形式的联系是直接的：n > 0 时 c_n = (a_n - i b_n)/2，c_0 = a_0/2。现在一个系数公式干两个的活，因为 e^{-i n pi x / L} 把余弦和正弦一同带着。
这是物理学家和工程师真正用来计算的形式。它使平移、求导和卷积的代数几乎变得平凡（求导只是把 c_n 乘以 i n pi / L），当周期无限增大时它无缝地推广到傅里叶变换，而且它是离散与快速傅里叶变换的天然语言——后者运行在每一条数字音频和图像流水线内部。唯一的概念性代价是要习惯复数，以及那看起来略显古怪的负频率项。
对 f(x) = e^{x} 在 (-pi, pi) 上、周期 2pi：c_n = (1/(2pi)) 从 -pi 到 pi 积分 e^{x} e^{-i n x} dx = sinh(pi) / pi * (-1)^n / (1 - i n)——一个复数公式涵盖了所有谐波，正的负的 n 一视同仁。
一个轻松完成的指数积分，替代了 a_n 和 b_n 的两个实积分。
系数积分中 e^{-i n pi x / L} 里的负号不是可有可无的：它是基函数的共轭，把它翻转（或漏掉 1/(2L)）会悄悄破坏每个系数的相位。