复指数函数（complex exponential）
指数函数 e^x 增长；三角函数 sin 与 cos 振荡。复指数函数是唯一同时容纳二者的函数，靠着踏出实轴而把它们统一起来。喂给它一个虚数，增长就化为旋转；喂给它一个复数，便得到螺线。它大概是应用数学中最有用的函数，因为它把振荡与衰减——波、电路与振动的语言——化为简单的代数。
其定义是用幂级数把 e^z 延拓，结果漂亮地分解：对 z = x + i y，e^z = e^x (cos y + i sin y)。实部 e^x 定下模长；虚部 y 定下幅角。其核心是欧拉公式 e^{i theta} = cos theta + i sin theta，它说幅角为 theta 的单位复数由对 i theta 取指数而得。令 theta = pi 便得那著名的 e^{i pi} + 1 = 0。复指数函数是自身的导数，从不为零，且以 2 pi i 为周期——这一事实悄然引出复对数的全部多值性。
在工程与物理中，复指数函数是一切振荡之物的主力。信号 A cos(omega t + phi) 写作复振幅乘以 e^{i omega t} 的实部；交流电路分析中的相量就是复指数；傅里叶变换把信号分解成 e^{i omega t} 这样的积木；阻尼波则是 e^{(-gamma + i omega) t}，一笔写下衰减与振荡。对指数求导只是乘上一个常数，于是振子的微分方程坍缩成代数。
计算 e^{1 + i pi/2}。用 e^z = e^x (cos y + i sin y)，取 x = 1，y = pi/2：e^1 (cos(pi/2) + i sin(pi/2)) = e (0 + i) = e i。于是该点落在虚轴上、高度为 e，模长被 e^1 缩放、幅角被 pi/2 旋转——增长乘以旋转，正如公式所许。
实部缩放模长，虚部旋转幅角。
与实指数不同，复指数是周期的，e^{z + 2 pi i} = e^z，故是多对一的：不同的输入可给出相同的输出。正是这种周期性使其逆——复对数——多值，从而需要分支切割。