复对数（complex logarithm）
实对数撤销实指数，每个正输入对应一个干净的答案。复对数则试图撤销复指数——可那指数是周期的，把平面一圈又一圈地缠绕，于是其逆不可能只有一个值。因此复对数本质上是多值的：每个非零数都有无穷多个对数，彼此相差 2 pi i 的整数倍，宛如盘旋楼梯叠在一个底层答案之上的层层楼面。
把 z 写成极坐标形式 z = r e^{i theta}，对数即 log z = ln r + i theta，其中 ln r 是模长的普通实对数，theta 是 z 的辐角。麻烦在于 theta 只能确定到相差 2 pi 的任意整数倍，因为转过整整一圈又落回同一点。要得到单值函数，就得选定一个主值，通常把幅角限制在区间 (-pi, pi] 内，记作 Log z；这就迫使出现一条分支切割，惯例沿负实轴，函数越过它便跳变 2 pi i。原点处 r = 0，是一个分支点，必须排除。
复对数是复幂的源头（因为 z^a 定义为 e^{a log z}），也是分数幂与无理数幂多值的缘由。每当被积函数含有 1/z 因子时它便现身：绕一个包住原点的回路积分会添上 2 pi i，那正是留数机制的化身。在应用中它支配信号的相位展开、电路的阻抗，以及线电荷或涡旋的势——凡是绕一个奇点时某量会累积幅角之处，皆有它的身影。
取 z = -1，其模长为 1、幅角为 pi。则 log(-1) = ln 1 + i(pi + 2 pi k) = i pi (1 + 2k)，对每个整数 k 皆然：..., -i pi, i pi, 3 i pi, ...。主值为 Log(-1) = i pi。可见一个负实数确有复对数——并无矛盾，只是多值而已。
每个非零数都有无穷多个对数，相隔 2 pi i；主值挑出其中一层。
诸如 log(z w) = log z + log w 这样熟悉的恒等式只在相差 2 pi i 整数倍的意义下成立，对主值 Log 甚至可能彻底失效。在复平面上盲目套用实变量的对数法则，是常见且代价高昂的错误。