分支切割（branch cut）

像平方根或对数这样的多值函数无法画成一张干净的曲面——它有相互交叠的层，绕分支点走一圈便会把你在层间倒换。分支切割就是你挂起的那道帘子，以防此事发生：它是平面上一条你宣布路径不得进入的曲线，于是在剩下的区域里函数不再多值，安顿为单一、连续的一支。

实践上，你选一条连接分支点的曲线（对对数，是从原点到无穷的一条射线；对 sqrt((z-1)(z+1))，是从 -1 到 +1 的线段），并禁止任何路径穿越它。在这开缝平面内，函数如今单值且解析，但要付代价：当你跨过切割时它会不连续地跳变。函数从切割两侧趋于不同的极限值，而那跳变的大小是信息，而非误差——当切割穿过你的围道时，你积分的正是它。切割的位置是自由选择；只有分支点是固定的。

在用围道方法计算实积分时，分支切割不可或缺。要积分诸如 x^{a} / (1 + x^2) 从 0 到无穷之类，你沿正实轴放一条切割，并绕它走一条锁孔围道；函数越过切割的跳变重现出原实积分的一个倍数，再由极点处的留数收尾。同一思想——把切割当作携带物理意义的受控不连续——出现在色散关系中，那里越过切割的跳变编码着吸收或粒子产生。