阻尼谐振子（damped harmonic oscillator）

拨一根吉他弦、让汽车在悬挂上颠一下、或让摆在空气中摆动，运动会振荡却逐渐消退——能量因摩擦或阻力而流失，直到系统归于静止。阻尼谐振子正是捕捉所有这些现象的那一个方程，也是整个线性常微分方程理论的范例。

它的方程是 m x'' + c x' + k x = 0：质量乘加速度，加上正比于速度的阻尼力，再加上正比于位移的恢复力。特征方程 m r^2 + c r + k = 0 按判别式区分行为，惯常用阻尼比来概括。欠阻尼（轻阻尼）给出衰减的振荡，e^(-gamma t) 乘以正弦——它会回响并慢慢消亡。临界阻尼是那条分界，能在不超调的情况下最快回到静止。过阻尼（重阻尼）则缓慢回归、毫无振荡，是两个衰减指数之和。

这三分法是工程的家常便饭。汽车的减震器调到接近临界阻尼，使车身迅速安定而不弹跳；闭门器则过阻尼，使门绝不甩响；钟则故意欠阻尼，使它回响。同一个方程，以电荷代替位移，描述 RLC 电路中的电流——电阻是阻尼，电感是惯性，电容的倒数是劲度——这正是同一套数学同时服务于机械与电学设计的原因。