三角傅里叶级数
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拨一下吉他弦，单单一个音里就背着一整摞泛音；对着麦克风说话，那条抖动的电压曲线其实是许多纯音叠加而成。三角傅里叶级数就是这一想法的数学版本：它断言几乎任何重复的信号，无论多么参差不齐，都能用一堆普通的正弦和余弦重新拼出来，而这些正弦余弦的频率都是某个基本频率的整数倍。这是谐波分析的奠基性一步——人们发现，一个复杂的周期形状暗地里其实是一个和弦。
确切地说，若 f(x) 以 2L 为周期重复，它的三角傅里叶级数为 f(x) = a_0/2 + 从 n=1 到无穷对 [ a_n cos(n pi x / L) + b_n sin(n pi x / L) ] 求和。常数项 a_0/2 是信号的平均（直流）电平；每个 a_n 和 b_n 表示你要掺进多少第 n 个余弦与正弦。单个整数 n 给谐波编号：n = 1 是基波，n = 2 是第一个泛音，依此类推。各项 cos(n pi x / L) 与 sin(n pi x / L) 都共享周期 2L，因此它们之和自动是 2L 周期的，与 f 相符。把级数取到某个 N 的部分和，就得到一个有限的三角多项式来逼近 f，只要 f 光滑，N 越大逼近越好。
这一展开是通往数学物理方法的门户。因为正弦和余弦正是振动的天然形状，也是区间上二阶导数算子的本征函数，把信号写成傅里叶级数就把关于热传导、波动和电信号的问题，化成对一串系数的记账——每个谐波各自独立地演化。一个值得提前记住的要点是：'f(x) 等于该级数'这个等号是在一种谨慎的、几乎处处的意义下成立的；在尖角或跳变处，级数会做出某种特殊的举动，而不是恰好在那里跟住 f。
在 (0, pi) 上等于 +1、在 (-pi, 0) 上等于 -1 并以 2pi 为周期延拓的方波，其傅里叶级数为 (4/pi) [ sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ... ]——只有奇数项正弦，系数像 1/n 那样衰减。
一个无限陡峭的方波由光滑的正弦曲线重新拼出——教科书里的第一个例子，也是跳变处那个著名过冲的来源。
傅里叶级数需要一个周期：它只在一个周期上表示 f，然后把那幅图永远重复下去，所以把它用在非周期的 f 上会悄悄把它周期化，可能在区间端点处引入原本不存在的跳变。