欧拉-傅里叶公式
/ OY-ler FOOR-ee-ay /
一旦你相信一个周期信号是正弦和余弦之和，紧接着显然要问：每一种各占多少？如果说一份配方是一摞配料，那么欧拉-傅里叶公式就是量杯——它们用一个积分告诉你每个谐波的精确分量。让它们奏效的诀窍是一种筛选：当你对一整个周期积分时，每个正弦和余弦对其他所有项都是'隐形'的，所以乘上某一个特定的谐波再积分，就把那一个系数单独挑了出来。
对于周期为 2L 的函数 f，公式是 a_n = (1/L) 对一个周期积分 f(x) cos(n pi x / L) dx，n = 0, 1, 2, ...，以及 b_n = (1/L) 对一个周期积分 f(x) sin(n pi x / L) dx，n = 1, 2, ...。你在任意长度为 2L 的区间上积分，常取从 -L 到 L。只有单个 n 留下来，原因是正交性：cos(m pi x / L) cos(n pi x / L) 对一个周期的积分，除非 m = n 否则为 0，正弦也一样，而正弦乘余弦的积分总是 0。所以当你把整条级数乘以 cos(n pi x / L) 再积分时，除了第 n 项以外每一项都坍缩为零，只剩下 L 乘 a_n。常数 a_0/2 就只是 f 的平均值，即信号的平均高度。
这些公式是整个学科的计算核心——每一台频谱分析仪、每一张系数表、每一个分离变量法的解，最后都落到恰好这种形式的积分上。它们在精神上也令人安心地'局部'：要找一个谐波，你从不需要知道其他的，所以你想算多少系数、精度要多高，就算多少。诚实的告诫是：这些公式要求 f 在周期上可积；对于行为恶劣的 f（不可积，或假设了错误的周期），这些积分可能不存在，或给出误导性的答案。
对 f(x) = x 在 (-pi, pi) 上、周期 2pi：由对称性所有 a_n = 0，而 b_n = (1/pi) 从 -pi 到 pi 积分 x sin(n x) dx = -2 cos(n pi)/n = 2 (-1)^{n+1}/n，于是 x = 2 [ sin x - sin 2x / 2 + sin 3x / 3 - ... ]。
一次分部积分就一举给出锯齿波的全部系数——公式包办了所有工作。
约定各异：有些书把常数项写成 a_0（而非 a_0/2）并除以 L（而非 2L），所以多出或漏掉一个因子 2 是最常见的错误——一定要核对你的 a_0 公式用的是哪种约定。