偶函数与奇函数
有些形状放在竖直轴上的镜子里看起来一模一样；另一些则翻成它的相反数。一个函数若图像关于 y 轴对称，就是偶函数，即 f(-x) = f(x)——像抛物线或余弦。它若把图像绕原点旋转 180 度后保持不变，就是奇函数，即 f(-x) = -f(x)——像过原点的直线或正弦。大多数函数两者都不是，但每个函数都唯一地分解成一个偶部分和一个奇部分，而傅里叶级数关心的正是这种分解。
回报是一条省力的系数规则。因为余弦是偶的、正弦是奇的，一个偶函数 f 的傅里叶级数只含余弦（所有 b_n = 0），一个奇函数 f 的级数只含正弦（所有 a_n = 0）。原因是积分的对称性：在对称区间 -L 到 L 上，奇被积函数的积分自动为 0，而偶被积函数的积分可以算成从 0 到 L 积分的两倍。所以当 f 是偶函数时，f 乘 sin 是奇的，其积分消失，把每个 b_n 都杀掉；当 f 是奇函数时，f 乘 cos 是奇的，把每个 a_n 都杀掉。在积分之前先认清 f 的奇偶性，能把工作量减半，是最先该检查的事情之一。
除了省代数，奇偶性还是你把傅里叶级数导向想要的形式的办法。如果你有一个只定义在 0 到 L 上的函数（比方说半根棒上的温度分布），你可以选择怎样把它延拓到 -L 到 L：把它延拓成偶函数得到纯余弦级数，或延拓成奇函数得到纯正弦级数。这种有意的选择就是半区间展开，也是匹配热问题或波动问题边界条件的标准做法。
f(x) = x^2 在 (-pi, pi) 上是偶函数，所以它的级数全是余弦：x^2 = pi^2/3 + 4 sum (-1)^n cos(n x)/n^2。f(x) = x 在 (-pi, pi) 上是奇函数，所以它的级数全是正弦。
看出对称性，就在你积分任何东西之前已经知道一半的系数是零。
奇偶性是相对所选区间中心来判断的；一个'看着像奇函数'的函数，只有当 f(-x) = -f(x) 恰好关于那个中心成立时才真是奇函数，而非零的平均值（比如 x^2）会迫使 a_0 非零，即便对称性是偶的。