帕塞瓦尔-普朗谢雷尔定理
/ par-suh-VAL, plahn-shuh-REL /
如果你测量一个信号的总能量——比如把它振幅的平方在所有时间上加起来——那么无论你看信号本身还是看它的频谱，都应该得到同样的答案。能量不会仅仅因为你把视角从时间换到频率就凭空出现或消失。帕塞瓦尔-普朗谢雷尔定理正是这一点的精确保证：傅里叶变换守恒能量，把它在时间上拥有的同一个总量重新分配到各个频率上。
用符号写：integral over x of |f(x)|^2 dx = (1/(2 pi)) integral over k of |F(k)|^2 dk（常数取决于约定；在对称的 1/sqrt(2 pi) 归一化下没有额外因子，两个积分干脆相等）。更一般地，对两个函数，f(x) 与 g(x) 共轭之积的积分，等于它们变换的同一个内积——傅里叶变换保持内积，所以它是一个酉映射。因此 |F(k)|^2 被读作能量谱密度：把它在某一频带上积分，就告诉你信号有多少能量住在那一频带里。
这是频率域中一切能量与功率计算的基础。它说明频谱不只是一个记账工具，而是同一份物理能量的忠实重新分配，这正是为什么功率谱在声学、光学和通信中是有意义的物理对象。在数学上，酉性正是使傅里叶变换成为平方可积函数空间上自然工具的原因，它也支撑着把变换严格推广到那些定义积分在通常意义下不收敛的函数（如纯正弦）。
有时一个在 x 上很难的积分，在 k 上却很容易。对变换 F(k) = 2 sin(k)/k 的脉冲，单位脉冲的能量 integral over x of |f|^2 = 2，于是帕塞瓦尔给出 (1/(2 pi)) integral over k of (2 sin(k)/k)^2 dk = 2，即 integral of (sin k / k)^2 dk = pi——用能量平衡算出一个棘手的积分。
能量守恒还兼作一种积分技巧：让两个域中的能量相等，去求出其中一个域里很难的积分。
联系两个积分的常数完全取决于所选的傅里叶约定；用错误的归一化引用帕塞瓦尔恒等式，你的能量就会差一个 2 pi 的因子。