三角换元（trigonometric substitution）

有些积分被 sqrt(a^2 - x^2) 或 sqrt(x^2 + a^2) 这样的根号缠住，普通的 u 换元解不开。三角换元的办法，是把 x 换成一个新角度的三角函数，让讨厌的根号塌缩成干净的式子。整个思路依赖勾股恒等式：1 - sin^2 = cos^2，1 + tan^2 = sec^2，sec^2 - 1 = tan^2。每一条恒等式都是一把钥匙，对应一种根号的形状。

具体地说：遇到 sqrt(a^2 - x^2)，令 x = a sin(theta)，根号变成 a cos(theta)；遇到 sqrt(a^2 + x^2)，令 x = a tan(theta)，根号变成 a sec(theta)；遇到 sqrt(x^2 - a^2)，令 x = a sec(theta)，根号变成 a tan(theta)。你同时把 dx 换成它的微分（对 x = a sin(theta)，dx = a cos(theta) d(theta)），把整个积分化成关于 theta 的积分，积出来，再借助一个记录原换元的直角三角形把结果翻译回 x。定积分则可以直接把上下限换成角度后带着走。

这套技巧是求弧长、椭圆面积，以及物理中许多含 sqrt(r^2 + z^2) 的距离或势能积分的标准路线。一个诚实的提醒是记账问题：你必须盯住根号的符号和角度的取值范围（主值分支），因为 sqrt(cos^2 theta) 等于 cos(theta) 的绝对值，而不是 cos(theta) 本身。选取余弦非负的那段角度区间，正是让代数保持诚实的关键。