有理函数的积分（integration of rational functions）

有理函数是两个多项式之比，P(x)/Q(x)。整个积分学里最干净的事实之一是：每个这样的函数都能用初等函数以闭式积出——永远没有意外，没有非初等的障碍。这是一套完整、了结的理论：给定任何有理函数，都有一个保证成功、机械的程序。

这个程序是三步流水线。第一，若分子次数不低于分母，做多项式长除法，剥出一个多项式（积分平凡）加一个真分式余项。第二，把分母在实数上分解为一次因子 (x - a) 和不可约二次因子 (x^2 + bx + c)，并把真分式分解成部分分式。第三，逐块积分：A/(x - a) 项给出 A ln|x - a|；重根因子给出幂函数；不可约二次因子给出一个对数（来自与分母导数相配的部分）加一个反正切（来自配方后剩下的常数）。这就是答案的全部字母表：多项式、对数和反正切。

这就是有理函数成为积分中安全、坚实的地基，并成为众多其他技巧天然归宿的原因——经魏尔斯特拉斯换元来的三角积分，以及经巧妙换元来的许多代数根式积分，全都汇入有理函数，正因为我们知道有理函数总能做完。同一套部分分式机制也让拉普拉斯逆变换变得可处理。唯一诚实的提醒是实践上而非理论上的：这个保证假定你能把分母分解，而对高次多项式，实因式分解可能只有数值上才能得到。