部分分式分解（partial fraction decomposition）
像 (3x + 5) / (x^2 - x - 2) 这样的多项式之比，作为一整块来积分看着很难。部分分式分解的技巧，是把它拆回若干更简单的部分之和——这些分式的分母是原分母的基本因子——而每一块你早就会积了。它正是「通分相加」的逆操作，也是让每个有理函数都能用初等方式积出来的主力工具。
做法是：先确保分子次数低于分母（若不是，先做多项式长除法，把多项式部分放到一边）。把分母分解成一次因子和不可约二次因子。然后每个因子写一项：一次因子 (x - a) 贡献 A / (x - a)；重根因子 (x - a)^2 贡献 A / (x - a) 加 B / (x - a)^2；不可约二次因子 (x^2 + bx + c) 贡献 (Bx + C) / (x^2 + bx + c)。你通过去分母后比较系数，或代入方便的 x 值，解出待定常数 A、B、C。得到的每一块都积成对数、反正切或幂函数。
这就是有理函数从不需要任何奇异东西的原因——结果总是对数、反正切和有理项的组合，所以有理函数总有初等原函数。它也是拉普拉斯逆变换的基础：你把传递函数拆成部分分式，逐项读出时域响应。初学者唯一容易栽跟头的地方，是忘了重根因子要为直到其重数的每个幂次都写一项，以及不可约二次因子的分子是一次式而不只是常数。
(3x + 5) / (x^2 - x - 2) = (3x + 5) / [(x - 2)(x + 1)] = A / (x - 2) + B / (x + 1)。去分母得 A = 11/3，B = -2/3，于是积分为 (11/3) ln|x - 2| - (2/3) ln|x + 1| + C。
把一个别扭的分式拆成两个简单分式，就把积分变成了对数之和。
只有当分子次数低于分母次数后，分解才适用。若分式是假分式（分子次数不低于分母），先做除法；否则解出的常数会自相矛盾，方法看似失效。