拉普拉斯变换
拉普拉斯逆变换
一旦你解完代数、手里握着 s 域中的一个函数 F(s)，你还需要回到时间。拉普拉斯逆变换就是从变换 F(s) 还原出原函数 f(t) 的运算——那趟把代数答案变回真实时间函数的返程。
在日常实践中，你几乎从不按其真正的积分定义去算它。取而代之的是倒着读变换表，但要先把 F(s) 拆成可识别的块。标准工具是部分分式分解：把有理的 F(s) 拆成 A/(s - a)、B/(s^2 + omega^2)、(C s + D)/((s - a)^2 + omega^2) 这样的简单分式，每一块都是已知的表项。再靠线性逐项求逆。平移定理负责处理被平移和被指数加窗的块。对连续函数而言逆变换是良定的：两个有相同变换的连续函数必相等（莱尔赫定理），所以你找到的答案就是答案。
表的背后是真正的定义——布罗姆维奇围道积分，即沿收敛域内一条竖直线的复线积分——对那些非有理的变换，复分析中的留数定理可直接求值。但对主导应用的常系数问题，部分分式加上查表就能包办全部工作，这正是为什么逆变换这一步几乎从不让人觉得是在做复分析。
对 (s + 3)/(s^2 + 2 s + 5) 求逆：配方为 (s + 1)^2 + 4，把 s + 3 写成 (s + 1) + 2，读出 e^{-t}(cos 2 t + sin 2 t)。
配方法加第一平移定理，把一个晦涩的有理函数变成了一个阻尼正弦。
唯一性只在“相差一个零测集”的意义下成立：两个函数除了在孤立点处都相等，便共享同一变换，所以逆变换是在连续函数中唯一，而非对每个函数都字面唯一。
又称
另见