拉普拉斯变换
布罗姆维奇积分
/ BROM-witch /
倒着读变换表很方便，但那不是定义——那是识别。布罗姆维奇积分是拉普拉斯逆变换诚实而构造性的定义：一个单一的积分公式，对任意变换（而不只是恰好出现在表里的那些）从 F(s) 还原出 f(t)。
公式是复平面上的一个围道积分：f(t) = (1/(2 pi i)) 沿竖直线 Re s = c 的 e^{s t} F(s) ds 的积分，其中这条线——布罗姆维奇围道——是一条放在 F(s) 所有奇点右侧的竖直线，也就是在收敛域之内。你沿这条线从 c - i 无穷积到 c + i 无穷。这正是拉普拉斯定义积分的精确逆，有时也称傅里叶-梅林（Fourier-Mellin）或梅林反演公式。
实践中你很少真的沿这条线直接积分。取而代之，你用一段向左的大圆弧把围道闭合，再用留数定理：积分等于 e^{s t} F(s) 在该线左侧 F(s) 所有极点处留数之和。每个位于 s = a 的简单极点贡献一项正比于 e^{a t} 的项，这正是为什么有理 F(s) 的逆变换是指数之和——部分分式不过是乔装的留数。布罗姆维奇积分是从工程师的表通向真正复分析的桥梁，也是它让逆变换即便在没有合适表项时仍然良定。
对 F(s) = 1/(s - a)，唯一的极点在 s = a；e^{s t}/(s - a) 在那里的留数是 e^{a t}，所以布罗姆维奇积分给出 f(t) = e^{a t}——与表相符。
单个留数重现了最简单的变换对，表明部分分式与留数是同一套计算。
向左闭合围道仅在 F(s) 于大圆弧上衰减（约当引理）且 t > 0 时才成立；对 t < 0 你必须向右闭合，那里没有极点，从而还原出因果事实：t = 0 之前 f(t) = 0。
又称
另见