第一平移定理
你想变换的函数常常是某个基本函数被一个衰减指数乘上后的“盛装”版本——想想逐渐消失的振动 e^{-t} sin(omega t)。第一平移定理告诉你，你不需要为这个盛装版本添新的表项：取那个朴素函数的变换，然后沿 s 轴把它平移一下就行。
确切地说：若 L{f(t)} = F(s)，则 L{e^{a t} f(t)} = F(s - a)。在时域里把 f(t) 乘以 e^{a t}，对应在变换里把 s 换成 s - a——也就是 s 变量的一次水平平移。这正是它又叫 s 域平移或频移的原因。例如，由 L{cos(omega t)} = s/(s^2 + omega^2)，定理立刻给出 L{e^{a t} cos(omega t)} = (s - a)/((s - a)^2 + omega^2)，只需在原来出现 s 的地方写成 s - a。
在应用中，这条定理正是阻尼振荡如此好处理的原因。衰减率 a 把变换的极点从虚轴上移开，而反过来读这条规则是标准的逆变换手法：当部分分式给你留下像 1/((s - a)^2 + omega^2) 这样的项时，你认出这次平移，便还原出 e^{a t} sin(omega t)/omega。它与配方法搭配使用——后者正是你在二次分母里识破隐藏的 s - a 的方法。
要对 1/(s^2 + 4 s + 13) 求逆，先配方：s^2 + 4 s + 13 = (s + 2)^2 + 9。平移 a = -2、omega = 3，给出逆变换 e^{-2 t} sin(3 t)/3。
配方法暴露出 s + 2，第一平移定理把它读成正弦上的 e^{-2 t} 包络。
不要把它和第二平移定理混淆：第一定理平移变换变量 s（时域里的指数因子），而第二定理平移时间变量 t（延迟的开启）。它们表面相似，但作用在相反的方向。