魏尔斯特拉斯换元（Weierstrass substitution）

如果一个三角积分混乱到——比如 1 / (2 + cos x)——奇偶招式都不奏效怎么办？魏尔斯特拉斯换元是万能逃生口：令 t = tan(x/2)，每个三角函数都变成 t 的有理函数。这一个换元就把任何关于 sin 和 cos 的有理表达式的积分，化成普通有理函数的积分，而部分分式总能把它做完。

奥妙来自三条由半角公式推出的恒等式：当 t = tan(x/2) 时，sin(x) = 2t / (1 + t^2)，cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2)，dx = 2 dt / (1 + t^2)。三者都代入后三角函数完全消失，只剩 t 的多项式之比。这就是它有时被称为「万能代换」的原因：对 sin 和 cos 的有理函数它从不失效，即便没有任何巧妙捷径。

正因为它总管用，它是一个让人安心的最后手段——但它很少是最漂亮的路，因为它可能造出一个高次有理函数，部分分式的活儿很重。一个诚实的提醒是：t = tan(x/2) 在 x = pi（pi 的奇数倍）处发散，所以在包含这种点的区间上换元在该处是反常的，你应当拆分积分或用连续性论证；对跨越整个周期的定积分，这一点需要小心。