高级积分技巧
非初等积分（non-elementary integral）
每个连续函数都有原函数——这由微积分基本定理保证。但有一个独立而出人意料的事实：原函数并不总能用我们熟悉的初等函数写出，即幂、根、指数、对数、三角与反三角函数及它们的有限组合。非初等积分，就是其原函数可被证明落在那套工具之外的积分。标准例子看着温和却很著名：e^(-x^2)、(sin x)/x、e^x/x、1/ln(x) 和 sqrt(1 + cos^2 x)。
这不是聪明不够的问题，而是一条定理。刘维尔定理，经里施算法精炼，给出了判定一个给定初等被积式是否有初等原函数的精确准则和判定程序。当答案为否时，它是一个坚硬的数学事实，而非我们技艺上的暂时空白。通常的回应是给这积分所定义的新函数命名——为 e^(-x^2) 命名误差函数 erf，为 (sin x)/x 命名正弦积分 Si，指数积分 Ei，对数积分 li——然后像当年对数也曾是新命名的积分那样，去精确地研究和制表。
最要紧、需内化的一点是：非初等是关于初等函数字母表的论断，而非关于积分是否有值。定积分可以是一个完全确定的数——有时还是著名的闭式，如完整高斯积分的 sqrt(pi)——而原函数可被计算、作图、用到任意精度。这些函数是从初等微积分通往特殊函数世界的门户，在那里工具箱被简单地扩充以纳入它们。
e^(-x^2) dx 的积分没有初等形式，于是给它命名：erf(x) = (2/sqrt(pi)) 乘上 e^(-t^2) dt 从 0 到 x 的积分。同样，(sin x)/x 定义 Si(x)，1/ln x 定义 li(x)。
我们把非初等积分变成一个全新的有名函数——erf、Si、Ei、li 正是这样诞生的。
非初等绝不意味着无定义或不可计算。积分仍可等于一个精确的数并算到任意精度；缺的只是用初等函数表达的闭式。
又称
另见