误差函数（error function）
/ the symbol erf is read 'erf' /
钟形曲线是统计学中最重要的形状，但它一部分下方的面积无法用初等函数写出——不存在任何多项式、指数和三角函数的有限组合，其导数等于 e^{-x^2}。于是数学家干脆给所需的原函数起了名字。误差函数 erf(x) 就是高斯钟形曲线下的累积面积，经过缩放使其稳定在 1。
确切地说，erf(x) = (2 除以 根号 pi) 乘 从 0 到 x 对 e^{-t^2} dt 的积分。前置因子 2/(根号 pi) 的选取使得 erf(无穷) = 1、erf(负无穷) = -1；该函数是奇函数，erf(0) = 0，在原点附近陡升而后趋平。尽管它没有初等闭式，却是完全良定义、无穷可微且易于计算的——其泰勒级数为 erf(x) = (2 除以 根号 pi) 乘 (x 减 x^3/3 加 x^5/10 减 ...)，查表或内置例程可把它算到全机器精度。
误差函数其实是乔装的标准正态累积概率：标准正态变量落在某区间内的概率，是一个平移缩放的 erf，这正是它支配测量误差、信噪比计算和质量控制的原因。它还求解热方程与扩散方程——从一个突变台阶扩散出去的温度分布，恰好是以相似变量 x 除以 根号(4 D t) 为自变量的误差函数。说 e^{-x^2} 的积分是非初等的，并不意味着它不可计算；只是意味着我们给答案起了个名字，正如我们当年给对数起名一样。
erf(1) 约等于 0.8427，即高斯权重 e^{-t^2} 在 (-1, 1) 上相对总量约占 84.27%。配套的恒等式 erf(无穷) = 1 不过是高斯积分 从负无穷到无穷对 e^{-t^2} dt 的积分 = 根号 pi。
erf 之所以恰好饱和到 1，正是因为完整高斯积分等于 根号 pi，而前置因子 2/(根号 pi) 把它抵消。
非初等不等于无定义或不可计算：erf 是一个完全普通的光滑函数，只是没有任何初等函数的有限公式能表示它。