贝塔函数（beta function）
/ BAY-tuh; the symbol is the capital Greek letter B /
许多概率与几何问题最终都归结为同一种形状的积分：在区间 0 到 1 上，对 x 的某次幂乘以 (1 减 x) 的另一次幂求积分。贝塔函数恰好把这一族打包起来。B(p, q) = 从 0 到 1 对 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx 的积分——一个符号代表单位区间上那个双参数隆起下的面积。
它的标志性特征是与伽马函数的简洁联系：B(p, q) = Gamma(p) Gamma(q) / Gamma(p+q)。这条恒等式是主力工具——一旦知道伽马值就能立刻算出积分，反过来也把伽马恒等式变成贝塔恒等式。还有一个三角形式：B(p, q) = 2 乘 从 0 到 pi/2 对 (sin theta)^{2p-1} (cos theta)^{2q-1} d theta 的积分，这正是四分之一周期上的三角幂次积分得到闭式解的途径。贝塔函数是对称的，B(p, q) = B(q, p)，并在 p 和 q 实部都为正时收敛。
贝塔函数是贝塔概率分布的归一化常数（在贝叶斯统计中作为概率的共轭先验极为常见），它也出现在区域体积、催生了弦论的最初的 Veneziano 振幅，以及整个伽马与超几何函数理论中。实用地说，每当一个定积分具有「幂乘以一减它的幂」或「四分之一圈上正弦幂次乘余弦幂次」的形式，贝塔函数就能直接给出答案，无需再做积分。
B(2, 3) = Gamma(2) Gamma(3) / Gamma(5) = (1! 乘 2!) / 4! = 2/24 = 1/12，与直接计算的 从 0 到 1 对 x (1-x)^2 dx 的积分 = 1/12 一致。
伽马比值公式把一个定积分变成一行算术核对。
贝塔函数是对称的，由伽马构成；它本身不是概率——贝塔分布要把 x^{p-1}(1-x)^{q-1} 除以 B(p,q) 才成为密度函数。