超几何函数（hypergeometric function）
/ the symbol is 2-F-1 /
至此出现的许多命名函数——几何级数、指数、对数、勒让德与切比雪夫多项式、椭圆积分——看起来彼此无关。超几何函数揭示它们都是同一个主级数的特例。它是一个带参数的单一函数，通过选取参数，数学物理中相当大一部分函数都能从中落出。
高斯超几何函数，记作 2F1(a, b; c; x)，是幂级数 1 加 (a b 除以 c) x 除以 1! 加 (a(a+1) b(b+1) 除以 c(c+1)) x^2 除以 2! 加 ...——一个相邻系数之比是指标的简单有理函数的幂级数。普通几何级数 1 加 x 加 x^2 加 ... 是特例 2F1(1, 1; 1; x)；对数、反正弦、完全椭圆积分以及经典正交多项式，都是取特定参数的 2F1（或其合流极限 1F1）。该级数在 |x| 小于 1 时收敛，并通过积分表示和函数关系延拓到更远。让两个参数合并便得到合流超几何函数 1F1，它涵盖贝塞尔、厄米和拉盖尔诸族。
超几何函数是伟大的统一者：它是超几何微分方程的通解，那是一个恰有三个正则奇点的二阶线性常微分方程，而几乎每个经典特殊函数都是它的特例或极限。在应用中它在概率论中给出闭式答案（它对许多离散分布求和）、给出物理常微分方程的解析解，并用于求一族族积分。知道一个结果是超几何的，便立刻把它接入一座庞大的恒等式库和快速数值方法。
取 a = b = 1、c = 1：每个系数都坍缩为 1，于是 2F1(1, 1; 1; x) = 1 加 x 加 x^2 加 ... = 1 除以 (1 减 x)，即普通几何级数——主函数最简单的特例。
连最朴素的几何级数也只是超几何族参数空间中的一个点。
2F1 中的 2 和 1 数的是参数个数（上面两个、下面一个），不是次数；只有当 a 或 b 是负整数时级数才终止为多项式，这正是它产生经典正交多项式的方式。