特殊函数
斯特林近似（Stirling's approximation）
/ STUR-ling /
100! 有多大？手算乘出来毫无希望，连计算器都会溢出。斯特林近似为大自变量下的阶乘（以及伽马函数）给出了简洁的闭式估计，把一个无从下手的乘积变成由 n、e 和 pi 搭成的简单表达式。它回答了「大致多大、增长多快」，却完全不必真正去做那串乘法。
主导形式是 n! 约等于 根号(2 pi n) 乘 (n/e)^n。等价地，对数满足 ln(n!) 约等于 n ln n 减 n 加 (1/2) ln(2 pi n)。这是一个渐近陈述：当 n 增大时两边之比趋于 1，尽管它们的差并不趋于零。完整的斯特林级数还加上修正项：n! 约等于 根号(2 pi n) (n/e)^n 乘 (1 + 1/(12n) + 1/(288 n^2) + ...)。这条尾巴是发散的渐近级数——一味加更多项最终反而让估计变差——然而在恰当处截断却能给出惊人的精度。
凡是出现大阶乘的地方都有斯特林近似：统计力学（气体的熵要用 ln(N!)，其中 N 约为 10^23）、组合学与中心极限定理、信息论，以及算法分析。它是引入渐近分析和拉普拉斯方法的原型例子，因为伽马函数的积分定义有一个尖锐的峰，拉普拉斯方法对它的近似恰好重现出斯特林形式。
取 n = 10：真值是 10! = 3628800，而 根号(2 pi 乘 10) 乘 (10/e)^10 约等于 3598696——偏低约 0.83%，相对误差以 1/(12n) 的量级缩小。
即使在 n = 10 这样不大的值，主导斯特林公式的精度已经优于百分之一。
斯特林修正级数是渐近且发散的：它不是收敛的幂级数，所以应在最佳项处截断，而不是一直求和到底。
又称
另见