发散渐近展开（divergent asymptotic expansion）

这是应用数学中最令人愉快的悖论之一：一个其各项最终会爆炸的级数——把它全部加起来会得到无穷或胡话——却仍可能是你拥有的最精确的数值工具之一。诀窍在于：你绝不把整个级数加完。你加上几项，停下，部分和就出奇地紧贴真值。这就是与渐近级数打交道的日常现实。

运作方式是：在典型的渐近展开里，各项先减小，到达一个最小项，然后无界地增大（往往因为系数像阶乘那样增长）。对固定的变量值，你能做到的最好就是在那个最小项处或之前截断——所谓的最优截断。你所承担的误差大致是那个最小项本身的大小，对许多问题而言是指数级地小。越过最小项只会引入失控的尾巴、毁掉答案。数学家斯托克斯在 1850 年代就用这样一个发散级数极高精度地算出了艾里函数的值，远早于任何人对此给出完整证明。

这之所以重要，是因为那个听起来很自然的要求「级数必须收敛才可信」对渐近分析根本不成立。量子力学（能级的微扰级数通常发散）、流体力学（边界层展开）、以及特殊函数的求值都依赖于此。现代的精细化方法（博雷尔求和、再求和、指数渐近）甚至能恢复隐藏在最优截断之外的那些指数级小信息。诚实的提醒是：发散展开只有在明智地截断、且只在最小项确实很小的变量取值范围内才可靠；盲目把它加完，或在最小项很大的地方使用它，得到的都是垃圾。