WKB近似（WKB approximation）
/ double-you kay bee /
WKB 近似是当介质相对于波长缓慢变化时，求解类波微分方程的办法——在这种区域里，波的行为几乎像一束光线在变化的介质中轻柔地弯折。它回答的是：当一个解的局部波长随位置漂移时，这个快速振荡（或快速衰减）的解如何演化？答案是去追踪一个累积的相位，加上一个缓慢调整的振幅。
考虑形如 epsilon^2 y'' + Q(x) y = 0 的方程，带一个小参数 epsilon（在量子力学中 epsilon 扮演普朗克常数的角色）。WKB 拟设把解写成 epsilon 级数的指数：y ~ exp((1/epsilon)(S_0(x) + epsilon S_1(x) + ...))。代入并按 epsilon 的幂次匹配，在主导阶得到 S_0' = 正负 sqrt(-Q)，即一个像 sqrt(Q) 的积分那样累积的相位（程函），在下一阶得到一个像 Q^(-1/4) 那样的振幅因子。于是在 Q > 0 处你得到局部波数为 sqrt(Q) 的振荡、振幅按 Q^(-1/4) 渐变；在 Q < 0 处你得到指数增长或衰减。当 Q 在局部波长的尺度上缓慢变化时，这个近似恰好极好。
WKB 是波动力学与经典力学之间的桥梁（半经典极限），它给出能级的玻尔-索末菲量子化规则、量子穿过势垒隧穿的指数速率、以及光学、声学、等离子体物理中波在缓变介质里的传播。诚实的提醒是：这些简单公式在 Q(x) = 0 处会爆炸——那是转折点，经典粒子在此停下并折返。那里的振幅前因子 Q^(-1/4) 是奇异的，你必须用一个局部的艾里函数解把振荡区与指数区拼接起来，这就是 WKB 连接公式。
对薛定谔方程，WKB 给出的穿过势垒的隧穿幅约为 exp(-(1/epsilon) 在经典禁区上 sqrt(V(x) - E) dx 的积分)——正是这指数级小的渗漏驱动着阿尔法衰变与扫描隧道显微镜。
指数中累积的「作用量」积分定下隧穿速率；缓变的振幅骑在它之上。
WKB 在 Q(x) = 0 的转折点附近不成立。那里朴素的 Q^(-1/4) 振幅发散；真正的解保持有限，连接两侧需要艾里函数的拼接，而非裸的 WKB 公式。