多尺度分析（multiple-scale analysis）

许多振荡系统会以相差悬殊的两个时钟同时做两件事：一个每个周期都重复的快速摆动，以及一个只有经过许多个周期后才显现的、振幅或相位的缓慢漂移。一个带弱阻尼的摆来回快速摆动，而它的摆幅在几分钟内逐渐衰减下去。多尺度分析把快时间与慢时间当作彼此独立的变量来处理，于是这两种行为都能在一个一致有效的近似里干净地被捕捉。

其机制是：引入一个快时间 t 与一个慢时间 T = epsilon t（有时还有更慢的），把解写成两者的函数 y(t, T)。由链式法则，时间导数变成 d/dt + epsilon d/dT，于是慢漂移通过那个多出来的 epsilon 部分进入。展开 y = y_0 + epsilon y_1 + ... 并按阶收集，主导解是一个振荡，其振幅与相位仍是慢时间 T 的未知函数。在下一阶，会出现危险的共振强迫项，否则它们将无界增长；要求这些长期项（secular terms）为零，就成了一个支配振幅与相位缓慢演化的方程。那个可解性条件就是回报——它精确地告诉你振幅如何衰减、频率如何移动。

多尺度法是庞加莱-林德斯泰特方法现代而灵活的继承者：它能处理单一拉伸频率所不能处理的阻尼、缓变参数与调制，它支撑着弱非线性振子（范德波尔方程与杜芬方程）、波包络与非线性薛定谔方程、以及力学中绝热不变量的分析。诚实的提醒是：该方法假设尺度干净地分离（epsilon 确实小），且所选的尺度是正确的。若系统的各频率之间存在共振，或存在你未曾预料的尺度，朴素的双时间方案仍可能失效，必须加以扩展。