正则微扰理论（regular perturbation theory）
正则微扰是最温和、最乐观的一类近似：你有一个无法精确求解的问题，但它与一个你能求解的问题只差一点点。你把这点差异化为一个小旋钮 epsilon，先解那个容易的问题，再逐次添上修正，每次按一个 epsilon 的幂去计入这点小效应。它是「先从理想情形出发，再轻轻一推」的数学版本。
其配方是：把未知量写成小参数的幂级数 y(x; epsilon) = y_0(x) + epsilon y_1(x) + epsilon^2 y_2(x) + ...，代入控制方程，按 epsilon 的阶逐项收集。零阶方程就是可解的未扰动问题，给出 y_0。每个更高阶都给出关于 y_k 的一个问题，由已经求出的低阶解驱动，而关键在于它是同一类型（通常是线性）的方程，只是带一个已知的强迫项。于是你解一串标准问题，当 epsilon 小时，该级数给出一个一致良好的近似。
正则微扰能处理弱非谐振子、短时间内被轻微扰动的行星轨道、量子能级的小修正（瑞利-薛定谔微扰理论）、以及无数带有小参数的工程模型。划定其边界的关键提醒是：正则微扰只在小参数不乘在最高阶导数上、也不以别的方式改变问题根本性质时才奏效。一旦令 epsilon = 0 会降低方程的阶、丢掉一个边界条件、或把有界解变成无界解，朴素的级数就失效，你面对的就是奇异微扰了——那是边界层与匹配展开的主题。
对 x^2 + epsilon x - 1 = 0（epsilon 很小），写 x = x_0 + epsilon x_1 + ...；常数阶给出 x_0 = 正负 1，epsilon 阶给出 x_1 = -1/2，于是 x ~ 1 - epsilon/2 + ...——这是根的一个干净的正则展开。
当 epsilon 趋于 0 时两个根都存活下来，各自获得一个光滑的幂级数修正——这正是正则微扰的标志。
像 epsilon x^2 + x - 1 = 0 这样的二次方程看似相似，却是奇异的而非正则的：令 epsilon = 0 会把它降为只有一个根的线性方程，于是有一个根冲向无穷，朴素的幂级数完全错过它。