庞加莱-林德斯泰特方法（Poincaré-Lindstedt method）
/ pwan-kah-RAY LIND-stet /
庞加莱-林德斯泰特方法纠正了朴素微扰理论在处理周期运动时的一个特定尴尬：小的非线性会使振子的频率略有改变，但若你仍在原频率处展开，修正项就会随时间增长、最终毁掉近似，尽管真实运动是一个完全有界的振荡。良方是把频率本身连同解一起展开，让周期运动在它自己正确调准的时间里被描述。
其机制是：对像杜芬方程 y'' + y + epsilon y^3 = 0 这样的弱非线性振子，引入一个拉伸时间 tau = omega t，其频率 omega = 1 + epsilon omega_1 + epsilon^2 omega_2 + ... 待定，并在这个被拉伸的时间里展开解 y = y_0 + epsilon y_1 + ...。在每一阶，共振强迫项（那些正比于 cos tau 或 sin tau、与固有频率相匹配的项）会生成像 tau 乘以正弦那样增长的长期项。于是你恰好选取频率修正 omega_1, omega_2, ...，使这些共振项相消。这一要求既消去了无界增长，又交付了非线性振荡那真正依赖于振幅的频率。
在历史上，林德斯泰特与庞加莱正是这样挽救了天体力学的微扰级数——那里行星轨道的朴素展开含有随时间增长的项，错误地预言了不稳定。它抓住了非线性振荡的标志：周期依赖于振幅。诚实的提醒是：基本方法假设运动是严格周期、单一频率的，所以它不能处理阻尼或振幅衰减（轨道必须自我闭合）。对带阻尼或缓慢调制的系统，你需要更一般的多尺度分析，而庞加莱-林德斯泰特本质上正是它在周期、单频情形下的特例。
对杜芬方程 y'' + y + epsilon y^3 = 0（振幅 a），该方法给出修正频率 omega ~ 1 + (3/8) epsilon a^2：振荡周期确实取决于摆动有多大。
让频率本身携带一个 epsilon 展开，就消去了失控的长期项，并揭示出依赖于振幅的周期。
拉伸频率不是表面上换个标签。在错误的（未扰动）频率处展开，正是长期项的真正根源；修正频率是去除病因，而非掩盖症状。