渐近等价（asymptotic equivalence）

有时两个复杂的量虽然从不严格相等，却随着某个变量变大而步调一致地前进——它们的比值趋于 1。渐近等价正是「这两者在极限下表现相同」的精确说法。我们写 f(x) ~ g(x)，读作「f 渐近于 g」，意思是当 x 很大时（或在所指的任何极限附近），较简单的 g 抓住了 f 真正的主导行为。

精确的含义是：当 x 趋于某极限时 f(x) ~ g(x)，意思是比值 f(x)/g(x) 趋于 1。等价地说，差 f - g 是 g 的小o，也就是误差相比 g 本身可忽略。于是调和数之和 1 + 1/2 + ... + 1/n ~ ln n，因为此和与 ln n 之比趋于 1，尽管它们的差（趋于欧拉-马斯刻若尼常数，约 0.5772）从不消失。这个关系是对称且传递的，所以它表现得像一个真正的「最终同尺寸、同形状」概念。

这是大多数渐近分析的头条结论：素数计数函数 pi(x) ~ x / ln x（素数定理），以及斯特林公式 n! ~ sqrt(2 pi n) (n/e)^n。关键的提醒是：~ 只控制相对误差，不控制绝对误差。作为比值 n! ~ sqrt(2 pi n)(n/e)^n 极其出色，但对大的 n，两边的绝对差是天文数字般地巨大——两边本身都大得惊人。等价保证的是百分比上吻合得好，绝不是数值上的差很小。