换元定理（change-of-variables theorem）
在一重积分里，换元法让你用一个新变量 u 来替换 x，代价是 dx = (dx/du) du——那个小因子 dx/du 把坐标轴拉伸或压缩，以保持面积的诚实。换元定理正是这个想法在二维或三维里的版本。你用更贴合区域的新坐标替换原坐标（比方说，对圆盘用极坐标代替直角坐标），并付出一个拉伸因子，来记账坐标变换如何扭曲了面积或体积。那个拉伸因子就是雅可比。
确切地说：设一个变换把新坐标 (u, v) 送到旧坐标 (x, y) = (x(u, v), y(u, v))，把 uv 平面上一个整齐的区域 S 映成你在 xy 平面上那个杂乱的区域 R。那么 f(x, y) dA 在 R 上的二重积分，等于 f(x(u, v), y(u, v)) 乘以 J 的绝对值再乘 dudv 在 S 上的二重积分，其中 J 是雅可比行列式——即 (x, y) 对 (u, v) 的偏导数矩阵的行列式。J 的绝对值量度的是：一个微小的 uv 矩形的面积，被映进 xy 平面时被放大了多少。三维里同样成立，配一个 3 乘 3 的雅可比。极坐标、柱坐标、球坐标的公式都是它的特例：它们的雅可比分别是 r、r 和 rho^2 sin(phi)。
这条定理是几乎每个值得做的多重积分背后的引擎。它正是为什么在圆盘上用极坐标积分会引入那个著名的额外的 r、为什么球坐标的体积元带着 rho^2 sin(phi)、以及为什么多维高斯积分能靠换到极坐标来攻破的原因。诚实的小字：这个映射在内部应当光滑且一一对应（在一个零测集之外是双射），且那里雅可比不为零——在雅可比为零的点（比如极坐标的原点），映射退化，但单独一个这样的点或一条曲线并不会破坏积分。
对极坐标 x = r cos(theta)，y = r sin(theta)，雅可比行列式等于 r，所以 dA = dx dy 变成 r dr d-theta。e^{-(x^2+y^2)} 在整个平面上的积分变成 theta 从 0 到 2pi、r 从 0 到无穷上 e^{-r^2} r dr d-theta 的积分 = pi。
雅可比 r 正是让极坐标积分正确、并攻破高斯积分的那个因子。
你乘的是雅可比的绝对值，不是带符号的雅可比——多重积分量度的是无符号的体量。完全忘掉雅可比因子（比如把 r dr d-theta 写成 dr d-theta）是经典的失误。