球坐标（spherical coordinates）
球坐标像你描述一颗星星那样定位空间中的点：它有多远，以及你必须转过哪两个角度才能指向它。三元组 (rho, phi, theta) 给出离原点的直线距离 rho、从正 z 轴往下量的极角 phi（余纬，北极处为 0、南极处为 pi），以及完全像极坐标那样绕 z 轴扫过的方位角 theta。半径为 a 的球，这个直角坐标积分的克星，变成了单一的方程 rho = a。
换算（这里采用物理学约定）是 x = rho sin(phi) cos(theta)，y = rho sin(phi) sin(theta)，z = rho cos(phi)。体积元推导起来要费些力气，但值得记住：dV = rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta。你能看出每个因子从何而来。一个小球坐标盒子有一条长度为 d-rho 的径向棱；一条沿余纬南北方向、长度为 rho d-phi 的棱；以及一条东西向的棱，它是一圈半径为 rho sin(phi) 的纬度圆，所以长度为 rho sin(phi) d-theta。三者相乘：rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta。那个 rho^2 sin(phi) 就是球坐标映射的雅可比，和极坐标的 r 一样，忘了它是致命的。
凡是几何或物理以某一点为中心之处，球坐标都不可或缺：行星的引力场、点电荷的电场、氢原子的波函数、天线的辐射、球体的体积与转动惯量。球坐标里的拉普拉斯算子，是球面上波动方程、热方程、拉普拉斯方程分离变量法的起点，引出勒让德多项式和球谐函数。诚实的警告是：约定相互冲突——许多数学教材把 phi 和 theta 的含义（甚至字母）对调，所以在信任一个公式之前，永远先说清楚哪个角是余纬。
半径为 a 的球的体积：theta 从 0 到 2pi、phi 从 0 到 pi、rho 从 0 到 a 上 rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta 的积分 = 2pi 乘 2 乘 (a^3 / 3) = (4/3) pi a^3。
因子 sin(phi) 在 phi 从 0 到 pi 上积分得 2，给出熟悉的 (4/3) pi a^3。
约定各异：物理学通常把 phi 称作余纬（从 z 轴往下），把 theta 称作方位角，而许多数学书把二者反过来。体积元里总带着余纬角的正弦——计算前先认清那是哪个字母。