标度因子（scale factors）

当你使用曲线坐标——极坐标、柱坐标、球坐标，或任何自定义系统——把一个坐标移动一小步，一般并不会让你移动同样多的实际距离。把角度 theta 转过一步 d-theta，带你走过的物理距离是 r d-theta，而不是 d-theta。标度因子就是那些换算数，它们告诉你：对每个坐标，该坐标变化一个单位对应多少真实长度。它们是抽象的坐标步长与诚实的长度、面积、体积之间的桥梁。

对一个坐标为 (u1, u2, u3)、位置向量为 r 的正交坐标系，标度因子 h_i 是 r 对 u_i 的偏导数的长度——也就是说，h_i 等于 partial r over partial u_i 的模。于是一个无穷小位移的长度平方，由线元 ds^2 = (h1 du1)^2 + (h2 du2)^2 + (h3 du3)^2 给出。体积元是乘积 dV = h1 h2 h3 du1 du2 du3，这恰好就是用几何形式写出的雅可比。对平面极坐标，标度因子是 h_r = 1、h_theta = r。对球坐标，它们是 h_rho = 1、h_phi = rho、h_theta = rho sin(phi)——它们的乘积 rho 乘 rho sin(phi) 又给回熟悉的 rho^2 sin(phi)。

标度因子是一举处理任何正交坐标系的干净而统一的办法。它们通过一套公式给出曲线坐标下的梯度（每个分量除以它的标度因子）、散度、旋度和拉普拉斯算子，而不必把每个算子从头重推一遍。这正是数学物理为热方程、波动方程、拉普拉斯方程所依赖的球坐标与柱坐标拉普拉斯算子背后的机器。要记住的一个限制是：简单的 ds^2 = (h_i du_i)^2 之和这种形式、以及乘积式体积元，只对正交坐标成立，即坐标方向彼此垂直；一般的（非正交）系统需要带交叉项的完整度规张量。