线性常微分方程：高阶与方程组
线性常微分方程组（system of linear ODEs）
真实系统很少只有一个运动部件。两个由弹簧耦合的质量、两个相互作用的种群、多回路电路中的电流、一连串反应化学物的浓度——每一个都不由一个方程、而由若干个必须一并求解的耦合方程所支配。线性常微分方程组正是所有这些的框架。
把未知量叠成向量 x = (x_1, ..., x_n)、把系数叠成矩阵 A，线性系统便紧凑地写作 x' = A x（齐次）或 x' = A x + g(t)（受迫）。这种向量形式不只是记号：它揭示出单方程的整套理论以矩阵代替数字后照样适用。解可叠加；齐次通解是 n 个无关向量解的组合；这背后有一个结构性的原因——任何高阶线性常微分方程本身都可通过把每一阶导数当作一个新变量而改写成一阶系统，故系统是那个统一的形式。
系统是现代动力学与控制的语言。把模型写成 x' = A x 就把它的结构暴露给线性代数：A 的本征值决定一切定性行为（增长、衰减、振荡、稳定性），本征向量给出固有模态，矩阵指数 e^(At) 给出精确解。这也是每个数值常微分方程求解器所期望的形式，故把任意问题化为一阶系统是计算中的标准第一步。
单个方程 y'' + 3y' + 2y = 0 通过令 x_1 = y、x_2 = y' 化为系统：于是 x_1' = x_2，x_2' = -2x_1 - 3x_2，即 x' = A x，A = [0, 1; -2, -3]。
任何高阶线性常微分方程，通过给它的导数命名，都可压成一阶系统。
耦合正是关键所在：一般你无法先单独解 x_1 再解 x_2——变量彼此回馈，这正是为何需要矩阵（本征值）机器、而非 n 个分立的单方程求解。
又称
另见