矩阵指数（matrix exponential）
标量方程 x' = a x 有干净的解 x = e^(a t) x_0。人们禁不住希望系统 x' = A x 也能这样写，x = e^(A t) x_0——只是如今指数上是个矩阵。矩阵指数让这个愿望真的成立：它把 e^(At) 定义得使这个公式恰是任意常系数线性系统的精确解。
它由与普通指数相同的幂级数定义，只是用矩阵的幂：e^(At) = I + At + (At)^2 / 2! + (At)^3 / 3! + ...。这个级数总收敛，逐项求导给出 d/dt e^(At) = A e^(At)，且 e^(A0) = I——这恰是 x(t) = e^(At) x_0 解 x' = A x（x(0) = x_0）所需的性质。实践中你很少去求和这个级数：若 A 可对角化，则 e^(At) = P e^(Dt) P^(-1)，其中 D 装着本征值，e^(Dt) 不过是对角线上本征值的指数；亏损矩阵用约当形，小型情形用凯莱–哈密顿定理。
矩阵指数是线性系统之解的最干净表述，是线性系统理论、控制工程以及单参数群（李理论）研究的统一对象。它一眼便编码了全部长期行为：A 的本征值取指数后，便告诉你哪些模态增长、衰减或振荡。但请注意，除非 A 与 B 可交换，e^(A+B) 一般并不等于 e^A e^B——矩阵指数不服从课本上的指数律。
对幂零矩阵 A = [0, 1; 0, 0]，级数在此终止：A^2 = 0，故 e^(At) = I + At = [1, t; 0, 1]。则 x(t) = e^(At) x_0 精确推进任意初始状态。
当 A 幂零时，指数级数终止，e^(At) 是 t 的多项式。
e^(A+B) = e^A e^B 仅当 AB = BA 时成立。对不可交换的矩阵它一般失效，误以为它成立是常微分方程理论与量子力学中常见且严重的错误。