自治方程（autonomous equation）

自治方程是这样一种方程：它的规则不依赖时间本身，只依赖当前的状态。想象一个球在固定的丘陵地貌上滚动：它下一步去哪，只取决于它现在在哪，而与此刻几点无关。地貌并不在它脚下改变。这种自我支配的性质（autonomos，「依自己的法则而活」）正是这个名字所捕捉的。

形式上，一阶自治方程的形式是 dy/dx = f(y)——右边只依赖 y，自变量 x 不显式出现。与之相对的是 dy/dx = f(x, y)，那里 x 单独露面。直接的好处是一种对称：由于规则在每个 x 值处都相同，方向场沿每一条水平线看起来完全一样；线段只依赖高度 y。所以若 y(x) 是解，则它的任意水平平移 y(x - c) 也是解。一个推论是自治方程原则上总可分离（dy/f(y) = dx），但它们真正的价值在定性层面。

正是这种不依赖 x 的性质，使相线图成为可能：你可以把整个流坍缩到单根 y 轴上，标出 f(y) = 0 之处（平衡点），再从它们之间 f 的符号读出解是上升还是下降。几乎每个写作「变化率取决于当前量」的模型——种群增长、化学动力学、物体趋向固定环境温度的冷却——都是自治的，这正是为什么定性工具箱（平衡点、相线、稳定性）首先就是为它们而建的。